پیچش و تنش

پیچش و تنش

پیچش و تنش

به‌منظور توضیح مفهوم پیچش، در ابتدا میله‌ای را همان‌طور که ادامه ارائه شده در نظر بگیرید. مطابق با شکل فرض کنید که نیروی FF تلاش دارد که میله‌ را در جهت ساعتگرد به حرکت در آورد. توجه داشته باشید که این میله در انتهای دیگرش به دیوار متصل شده است. بنابراین در انتهای دیگرِ میله، نیرویی برابرِ FF وجود دارد که در تلاش است تا میله را در جهتی عکس دوران دهد.

torsion

همان‌طور که می‌دانید، تنش برشی را با نماد ττ نشان می‌دهند. این صورت اندازه تنش برشی در نتیجه پیچشِ یک میله برابر است با:

τ=TρJτ=TρJ

در رابطه فوق، TT، گشتاور پیچشی وارد شده به میله، ρρ، فاصله محل محاسبه تنش از مرکز میله و JJ نشان دهنده گشتاور اینرسی قطبی سطح مقطع میله حول مرکز است. بنابراین برای سطوح‌ مختلف باید گشتاور قطبی مربوط به آن‌ها محاسبه شوند. برای نمونه میله‌ای با سطح مقطع دایره‌ای به قطر DD را همان‌طور که در ادامه ارائه شده، در نظر بگیرید.

torsion

برای مقطع فوق، گشتاور قطبی و تنش برشی ماکزیمم برابرند با:

J=π32D4 , τmax=16TπD3J=π32D4 , τmax=16TπD3

همین مقادیر برای شکل زیر (استوانه‌‌ای توخالی با قطر خارجیِ DD و قطر داخلی dd ) نیز برابرند با:

torsion

J=π32(D4–d4) , τmax=16TDπ(D4–d4)J=π32(D4–d4) , τmax=16TDπ(D4–d4)

زاویه پیچش

فرض کنید میله‌ای به طول LL به یک نقطه ساکن (مثلا دیوار) متصل شده و به سر دیگر آن گشتاور پیچشی TT وارد می‌شود. در این صورت میزان زاویه پیچش در این میله برابر است با:

θ=TLJGin radiansθ=TLJGin radians

توجه داشته باشید که در رابطه فوق، TT، گشتاور پیچشی بر حسب N.mmN.mm و GG برابر با مدول برشی است که بر حسب MPaMPa بیان می‌شود. بنابراین LL بر حسب mmmm بوده و JJ نیز بر حسب mm4mm4 در رابطه قرار داده می‌شود. هم‌چنین دقت کنید همان‌طور که در بالا نیز نشان داده شده، زاویه محاسبه شده بر حسب رادیان است.

توان منتقل شده توسط شفت

شفتی که با سرعت زاویه‌ای ثابتِ ωω در حال دوران است، گشتاور پیچشی ثابتی برابر با TT به آن وارد می‌شود. در این صورت توان منتقل شده توسط این شفت برابر است با:

P=Tω=2πTfP=Tω=2πTf

در رابطه فوق TT برابر با گشتاور بر حسبِ N.mN.m و ff فرکانس نوسان یا تعداد دوران در هر ثانیه است. با توجه به این ابعاد، توانِ PP نیز بر حسب وات بدست خواهد آمد. به‌منظور درک بهترِ مفاهیمِ ارائه شده در بالا، مثال‌هایی در ادامه طرح شده‌اند که مطالعه آن‌ها می‌توانند در درک مطلب کمک‌کننده باشند.

مثال ۱

شفتی فولادی به طول 3 ft3 ft، دارای قطری برابر با 4 in4 in است. فرض کنید به این شفت گشتاوری پیچشی برابر با 15 kip⋅ft15 kip·ft وارد شود. در این صورت با فرض این‌که مدول برشی میله برابر با G=12×106  psiG=12×106  psi باشد، تنش برشی ماکزیمم و میزان زاویه پیچیده‌شده در میله را بیابید.

تنش برشی ماکزیمم برابر است با:

τmax=16TπD3=16(15)(1000)(12)π(43)τmax=16TπD3=16(15)(1000)(12)π(43)

τmax=14324psiτmax=14324psi

در مرحله بعد، میزان زاویه منحرف شده نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید:

θ=TLJG=15(3)(1000)(122)132π(44)(12×106)θ=TLJG=15(3)(1000)(122)132π(44)(12×106)

θ=0.0215radθ=0.0215rad

البته می‌توان زاویه پیچش بدست آمده را بر حسب درجه نیز بیان کرد. میزان زاویه پیچش برابر است با:

θ=1.23∘θ=1.23∘

مثال فوق نمونه‌ای عادی از نحوه بدست آوردن تنش و کرنش زاویه‌ای بود. در ادامه مثال‌هایی را ارائه خواهیم داد که در آن‌‌ها شفت‌ از چندین بخش تشکیل شده یا این‌که مسئله از جنس انتقال توان باشد.

مثال ۲

شفتی به طولِ 5m5m را در نظر بگیرید که تحت گشتاوری پیچشی به اندازه 4∘4∘ پیچیده شده است. با فرض این‌که ماکزیمم تنش برشی ایجاد شده در این شفت برابر با 80 MPa80 MPa بوده و مدول برشی آن برابر با G=83 GPaG=83 GPa باشد، میزان توان منتقل شده در هنگام چرخش شفت با فرکانسِ 20 Hz20 Hz را بدست آورید.

در اولین قدم با استفاده از رابطه بدست آمده برای زاویه، مقدار گشتاور وارد شده به میله بر حسب قطر، مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

θ=TLJGθ=TLJG

4∘(π180∘)=T(5)(1000)132πd4(83000)4∘(π180∘)=T(5)(1000)132πd4(83000)

T=0.1138d4T=0.1138d4

از طرفی می‌توان با استفاده از فرمول تنش ماکزیمم، اندازه قطر را بدست آورد.

τmax=16Tπd3τmax=16Tπd3

80=16(0.1138d4)πd380=16(0.1138d4)πd3

با بدست آمدن قطر، از رابطه ارائه شده برای محاسبه توان استفاده می‌کنیم و توان را بدست می‌آوریم.

T=P2πfT=P2πf

0.1138d4=P2π(20)0.1138d4=P2π(20)

P=14.3d4=14.3(1384)P=14.3d4=14.3(1384)

P=5186237285N⋅mm/secP=5186237285N⋅mm/sec

P=5186237.28WP=5186237.28W

بنابراین نهایتا توان منتقل شده توسط شفت برابر با P=5.19 MWP=5.19 MW بدست می‌آید.

مثال ۳

شفتی فولادی به قطر 5 m5 m را در نظر بگیرید. چرخ‌دنده‌ای به فاصله‌ 2 m2 m از انتهای سمت چپ، توان 70 kw70 kw را به سیستم تحویل می‌دهد و دیگر چرخ‌دنده‌ها مطابق با شکل زیر این توان را مصرف می‌کنند. در این صورت موارد خواسته شده را بدست آورید.

torsion
  1. ضخامتی یکنواخت از قطر که به ازای آن تنش برشی بیشتر از 60 MPa60 MPa نشود.
  2. اگر ضخامت یکنواخت شفت برابر با 100 mm100 mm باشد، میزان زاویه منحرف شده یک سمت از شفت را نسبت به سمت دیگر آن بیابید. مدول برشی را برابر با G=83GPaG=83GPa در نظر بگیرید.

(a): در ابتدا باید گشتاور تولید شده یا وارد شده به هریک از شفت‌ها را یافت. در حقیقت گشتاور وارد شده یا خارج شده از هریک از شفت‌ها برابرند با:

T=P2πfT=P2πf

TA=TC=−20(1000)2π(2)=−1591.55N⋅mTA=TC=−20(1000)2π(2)=−1591.55N⋅m

TB=70(1000)2π(2)=5570.42N⋅mTB=70(1000)2π(2)=5570.42N⋅m

TD=−30(1000)2π(2)=−2387.32 N ⋅mTD=−30(1000)2π(2)=−2387.32 N ⋅m

به منظور بدست آوردن قطر، می‌توان از رابطه تنش برشی ماکزیمم استفاده کرده و آن را در هریک از مقاطع بدست آورد.

برای قسمت AB:

60=16(1591.55)(1000)πd360=16(1591.55)(1000)πd3

d=51.3mmd=51.3mm

برای قسمت BC:

60=16(3978.87)(1000)πd360=16(3978.87)(1000)πd3

d=69.6mmd=69.6mm

برای قسمت CD:

60=16(2387.32)(1000)πd360=16(2387.32)(1000)πd3

d=58.7mmd=58.7mm

ما می‌خواهیم قطر شفت، در تمامی قسمت‌ها عددی یکنواخت باشد؛ بنابراین از میان مقادیر فوق باید ماکزیمم مقدار را در نظر گرفت. ماکزیمم مقدار قطر مربوط به قسمت BC است. بنابراین قطر یکنواخت شفت برابر است با:

d=69.6  mmd=69.6  mm

(b): میزان زاویه منحرف شده در یک بخش از شفت را می‌توان با استفاده از اختلاف گشتاور دو سر آن بدست آورد. بنابراین میزان اختلاف نقطه D نسبت به A برابر است با:

θD/A=1JGΣTLθD/A=1JGΣTL

در نتیجه نهایتا پیچش نسبی دو سر شفت، برابر می‌شود با:

θD/A=1132π(1004)(83000)[−1591.55(2)+3978.87(1.5)+2387.32(1.5)](10002)θD/A=1132π(1004)(83000)[−1591.55(2)+3978.87(1.5)+2387.32(1.5)](10002)

θD/A=0.007813radθD/A=0.007813rad

مثال ۴

مطابق با شکل زیر شفتی فولادی را در نظر بگیرید که با فرکانس 4 Hz4 Hz دوران می‌کند. گشتاور 35kW35kW از نقطه AA گرفته می‌شود. هم‌چنین 20kW20kW از نقطه BB گرفته می‌شود. از طرفی از نقطه CC مقدارِ 55Kw55Kw اعمال می‌شود. با توجه به این توصیفات بیشترین میزان تنش برشی و همچنین بیشترین میزان انحراف زاویه‌ای نقطه AA نسبت به CC را بدست آورید.

torsion

در هریک از نقاط شفت مقداری از توان وارد یا خارج می‌شود. بنابراین در هریک از نقاط شفت مقداری گشتاور اعمال شده یا از شفت گرفته شده است. به‌منظور بدست آوردن مقدار گشتاور، کافی است از رابطه بین گشتاور و توان استفاده کرد. نهایتا گشتاور در هریک از نقاطِ شفت برابر می‌شود با:

TA=−35(1000)2π(4)=−1392.6 N⋅mTA=−35(1000)2π(4)=−1392.6 N⋅m

TB=−20(1000)2π(4)=−795.8N⋅mTB=−20(1000)2π(4)=−795.8N⋅m

TC=55(1000)2π(4)=2188.4N⋅mTC=55(1000)2π(4)=2188.4N⋅m

شکل زیر نحوه اعمال شدن گشتاور‌ها به نقاط مختلف شفت را نشان می‌دهد.

torsion

با توجه به گشتاور‌های بدست آمده، تنش در نقاط مختلف شفت به‌صورت زیر بدست می‌آیند.

τmax=16Tπd3τmax=16Tπd3

τAB=16(1392.6)(1000)π(553)=42.63 MPaτAB=16(1392.6)(1000)π(553)=42.63 MPa

τBC=16(2188.4)(1000)π(653)=40.58 MPa τBC=16(2188.4)(1000)π(653)=40.58 MPa 

بنابراین بیشترین تنش در شفت برابر با τmax=τAB=42.63 MPaτmax=τAB=42.63 MPa است. مقدار زاویه منحرف شده نیز مشابه با مثال قبل برابر با برآیند انحرافِ ناشی از تمامی گشتاور‌ها بدست می‌آیند.

θ=TLJGθ=TLJG

θA/C=1GΣTLJθA/C=1GΣTLJ

θA/C=183000[1392.6(4)132π(554)+2188.4(2)132π(654)](10002)θA/C=183000[1392.6(4)132π(554)+2188.4(2)132π(654)](10002)

θA/C=0.104796585radθA/C=0.104796585rad

توجه داشته باشید که در برخی از موارد ممکن نیروی برشی نیز به تیر وارد شود که در این موارد باید تاثیر تمامی نیرو‌های برشی در نظر گرفته شوند. در مطالب آینده، بیشتر در این مورد بحث خواهیم کرد.

همچنین بخوانید :

محصول با موفقیت به سبد خرید اضافه شد.