بهمنظور توضیح مفهوم پیچش، در ابتدا میلهای را همانطور که ادامه ارائه شده در نظر بگیرید. مطابق با شکل فرض کنید که نیروی FF تلاش دارد که میله را در جهت ساعتگرد به حرکت در آورد. توجه داشته باشید که این میله در انتهای دیگرش به دیوار متصل شده است. بنابراین در انتهای دیگرِ میله، نیرویی برابرِ FF وجود دارد که در تلاش است تا میله را در جهتی عکس دوران دهد.
همانطور که میدانید، تنش برشی را با نماد ττ نشان میدهند. این صورت اندازه تنش برشی در نتیجه پیچشِ یک میله برابر است با:
τ=TρJτ=TρJ
در رابطه فوق، TT، گشتاور پیچشی وارد شده به میله، ρρ، فاصله محل محاسبه تنش از مرکز میله و JJ نشان دهنده گشتاور اینرسی قطبی سطح مقطع میله حول مرکز است. بنابراین برای سطوح مختلف باید گشتاور قطبی مربوط به آنها محاسبه شوند. برای نمونه میلهای با سطح مقطع دایرهای به قطر DD را همانطور که در ادامه ارائه شده، در نظر بگیرید.
برای مقطع فوق، گشتاور قطبی و تنش برشی ماکزیمم برابرند با:
J=π32D4 , τmax=16TπD3J=π32D4 , τmax=16TπD3
همین مقادیر برای شکل زیر (استوانهای توخالی با قطر خارجیِ DD و قطر داخلی dd ) نیز برابرند با:
J=π32(D4–d4) , τmax=16TDπ(D4–d4)J=π32(D4–d4) , τmax=16TDπ(D4–d4)
فرض کنید میلهای به طول LL به یک نقطه ساکن (مثلا دیوار) متصل شده و به سر دیگر آن گشتاور پیچشی TT وارد میشود. در این صورت میزان زاویه پیچش در این میله برابر است با:
θ=TLJGin radiansθ=TLJGin radians
توجه داشته باشید که در رابطه فوق، TT، گشتاور پیچشی بر حسب N.mmN.mm و GG برابر با مدول برشی است که بر حسب MPaMPa بیان میشود. بنابراین LL بر حسب mmmm بوده و JJ نیز بر حسب mm4mm4 در رابطه قرار داده میشود. همچنین دقت کنید همانطور که در بالا نیز نشان داده شده، زاویه محاسبه شده بر حسب رادیان است.
شفتی که با سرعت زاویهای ثابتِ ωω در حال دوران است، گشتاور پیچشی ثابتی برابر با TT به آن وارد میشود. در این صورت توان منتقل شده توسط این شفت برابر است با:
P=Tω=2πTfP=Tω=2πTf
در رابطه فوق TT برابر با گشتاور بر حسبِ N.mN.m و ff فرکانس نوسان یا تعداد دوران در هر ثانیه است. با توجه به این ابعاد، توانِ PP نیز بر حسب وات بدست خواهد آمد. بهمنظور درک بهترِ مفاهیمِ ارائه شده در بالا، مثالهایی در ادامه طرح شدهاند که مطالعه آنها میتوانند در درک مطلب کمککننده باشند.
شفتی فولادی به طول 3 ft3 ft، دارای قطری برابر با 4 in4 in است. فرض کنید به این شفت گشتاوری پیچشی برابر با 15 kip⋅ft15 kip·ft وارد شود. در این صورت با فرض اینکه مدول برشی میله برابر با G=12×106 psiG=12×106 psi باشد، تنش برشی ماکزیمم و میزان زاویه پیچیدهشده در میله را بیابید.
تنش برشی ماکزیمم برابر است با:
τmax=16TπD3=16(15)(1000)(12)π(43)τmax=16TπD3=16(15)(1000)(12)π(43)
τmax=14324psiτmax=14324psi
در مرحله بعد، میزان زاویه منحرف شده نیز بهصورت زیر بدست میآید:
θ=TLJG=15(3)(1000)(122)132π(44)(12×106)θ=TLJG=15(3)(1000)(122)132π(44)(12×106)
θ=0.0215radθ=0.0215rad
البته میتوان زاویه پیچش بدست آمده را بر حسب درجه نیز بیان کرد. میزان زاویه پیچش برابر است با:
θ=1.23∘θ=1.23∘
مثال فوق نمونهای عادی از نحوه بدست آوردن تنش و کرنش زاویهای بود. در ادامه مثالهایی را ارائه خواهیم داد که در آنها شفت از چندین بخش تشکیل شده یا اینکه مسئله از جنس انتقال توان باشد.
شفتی به طولِ 5m5m را در نظر بگیرید که تحت گشتاوری پیچشی به اندازه 4∘4∘ پیچیده شده است. با فرض اینکه ماکزیمم تنش برشی ایجاد شده در این شفت برابر با 80 MPa80 MPa بوده و مدول برشی آن برابر با G=83 GPaG=83 GPa باشد، میزان توان منتقل شده در هنگام چرخش شفت با فرکانسِ 20 Hz20 Hz را بدست آورید.
در اولین قدم با استفاده از رابطه بدست آمده برای زاویه، مقدار گشتاور وارد شده به میله بر حسب قطر، مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.
θ=TLJGθ=TLJG
4∘(π180∘)=T(5)(1000)132πd4(83000)4∘(π180∘)=T(5)(1000)132πd4(83000)
T=0.1138d4T=0.1138d4
از طرفی میتوان با استفاده از فرمول تنش ماکزیمم، اندازه قطر را بدست آورد.
τmax=16Tπd3τmax=16Tπd3
80=16(0.1138d4)πd380=16(0.1138d4)πd3
با بدست آمدن قطر، از رابطه ارائه شده برای محاسبه توان استفاده میکنیم و توان را بدست میآوریم.
T=P2πfT=P2πf
0.1138d4=P2π(20)0.1138d4=P2π(20)
P=14.3d4=14.3(1384)P=14.3d4=14.3(1384)
P=5186237285N⋅mm/secP=5186237285N⋅mm/sec
P=5186237.28WP=5186237.28W
بنابراین نهایتا توان منتقل شده توسط شفت برابر با P=5.19 MWP=5.19 MW بدست میآید.
شفتی فولادی به قطر 5 m5 m را در نظر بگیرید. چرخدندهای به فاصله 2 m2 m از انتهای سمت چپ، توان 70 kw70 kw را به سیستم تحویل میدهد و دیگر چرخدندهها مطابق با شکل زیر این توان را مصرف میکنند. در این صورت موارد خواسته شده را بدست آورید.
(a): در ابتدا باید گشتاور تولید شده یا وارد شده به هریک از شفتها را یافت. در حقیقت گشتاور وارد شده یا خارج شده از هریک از شفتها برابرند با:
T=P2πfT=P2πf
TA=TC=−20(1000)2π(2)=−1591.55N⋅mTA=TC=−20(1000)2π(2)=−1591.55N⋅m
TB=70(1000)2π(2)=5570.42N⋅mTB=70(1000)2π(2)=5570.42N⋅m
TD=−30(1000)2π(2)=−2387.32 N ⋅mTD=−30(1000)2π(2)=−2387.32 N ⋅m
به منظور بدست آوردن قطر، میتوان از رابطه تنش برشی ماکزیمم استفاده کرده و آن را در هریک از مقاطع بدست آورد.
برای قسمت AB:
60=16(1591.55)(1000)πd360=16(1591.55)(1000)πd3
d=51.3mmd=51.3mm
برای قسمت BC:
60=16(3978.87)(1000)πd360=16(3978.87)(1000)πd3
d=69.6mmd=69.6mm
برای قسمت CD:
60=16(2387.32)(1000)πd360=16(2387.32)(1000)πd3
d=58.7mmd=58.7mm
ما میخواهیم قطر شفت، در تمامی قسمتها عددی یکنواخت باشد؛ بنابراین از میان مقادیر فوق باید ماکزیمم مقدار را در نظر گرفت. ماکزیمم مقدار قطر مربوط به قسمت BC است. بنابراین قطر یکنواخت شفت برابر است با:
d=69.6 mmd=69.6 mm
(b): میزان زاویه منحرف شده در یک بخش از شفت را میتوان با استفاده از اختلاف گشتاور دو سر آن بدست آورد. بنابراین میزان اختلاف نقطه D نسبت به A برابر است با:
θD/A=1JGΣTLθD/A=1JGΣTL
در نتیجه نهایتا پیچش نسبی دو سر شفت، برابر میشود با:
θD/A=1132π(1004)(83000)[−1591.55(2)+3978.87(1.5)+2387.32(1.5)](10002)θD/A=1132π(1004)(83000)[−1591.55(2)+3978.87(1.5)+2387.32(1.5)](10002)
θD/A=0.007813radθD/A=0.007813rad
مطابق با شکل زیر شفتی فولادی را در نظر بگیرید که با فرکانس 4 Hz4 Hz دوران میکند. گشتاور 35kW35kW از نقطه AA گرفته میشود. همچنین 20kW20kW از نقطه BB گرفته میشود. از طرفی از نقطه CC مقدارِ 55Kw55Kw اعمال میشود. با توجه به این توصیفات بیشترین میزان تنش برشی و همچنین بیشترین میزان انحراف زاویهای نقطه AA نسبت به CC را بدست آورید.
در هریک از نقاط شفت مقداری از توان وارد یا خارج میشود. بنابراین در هریک از نقاط شفت مقداری گشتاور اعمال شده یا از شفت گرفته شده است. بهمنظور بدست آوردن مقدار گشتاور، کافی است از رابطه بین گشتاور و توان استفاده کرد. نهایتا گشتاور در هریک از نقاطِ شفت برابر میشود با:
TA=−35(1000)2π(4)=−1392.6 N⋅mTA=−35(1000)2π(4)=−1392.6 N⋅m
TB=−20(1000)2π(4)=−795.8N⋅mTB=−20(1000)2π(4)=−795.8N⋅m
TC=55(1000)2π(4)=2188.4N⋅mTC=55(1000)2π(4)=2188.4N⋅m
شکل زیر نحوه اعمال شدن گشتاورها به نقاط مختلف شفت را نشان میدهد.
با توجه به گشتاورهای بدست آمده، تنش در نقاط مختلف شفت بهصورت زیر بدست میآیند.
τmax=16Tπd3τmax=16Tπd3
τAB=16(1392.6)(1000)π(553)=42.63 MPaτAB=16(1392.6)(1000)π(553)=42.63 MPa
τBC=16(2188.4)(1000)π(653)=40.58 MPa τBC=16(2188.4)(1000)π(653)=40.58 MPa
بنابراین بیشترین تنش در شفت برابر با τmax=τAB=42.63 MPaτmax=τAB=42.63 MPa است. مقدار زاویه منحرف شده نیز مشابه با مثال قبل برابر با برآیند انحرافِ ناشی از تمامی گشتاورها بدست میآیند.
θ=TLJGθ=TLJG
θA/C=1GΣTLJθA/C=1GΣTLJ
θA/C=183000[1392.6(4)132π(554)+2188.4(2)132π(654)](10002)θA/C=183000[1392.6(4)132π(554)+2188.4(2)132π(654)](10002)
θA/C=0.104796585radθA/C=0.104796585rad
توجه داشته باشید که در برخی از موارد ممکن نیروی برشی نیز به تیر وارد شود که در این موارد باید تاثیر تمامی نیروهای برشی در نظر گرفته شوند. در مطالب آینده، بیشتر در این مورد بحث خواهیم کرد.
همچنین بخوانید :